Il numero aureo: natura e arte

Quale regola geometrica è alla base delle proporzioni dei templi greci, dei capolavori di Leonardo, della successione dei petali di un fiore e delle spirali delle conchiglie? La risposta è nel numero aureo, una delle grandi meraviglie della matematica

Fu un italiano, Leonardo Pisano detto Fibonacci (filius Bonaccii), a introdurre in Occidente nel XIII secolo la numerazione posizionale arabo-indiana, vale a dire le cifre che noi chiamiamo arabe, il cui valore dipende dalla loro posizione all’interno del numero e che progressivamente andarono a sostituire la numerazione romana, in tal modo trasformando completamente la matematica.

La spirale della conchiglia che il Conus eburneus, un mollusco del Pacifico, crea sviluppandosi, è un perfetto esempio della sezione aurea in natura

La spirale della conchiglia che il Conus eburneus, un mollusco del Pacifico, crea sviluppandosi, è un perfetto esempio della sezione aurea in natura

Foto: Joan Costa

La successione di Fibonacci è strettamente collegata a una delle meraviglie della scienza dei numeri, il cosiddetto “numero aureo”, conosciuto sin dall’antichità e ancora oggi oggetto di studi. Il numero aureo viene indicato con la lettera greca (phi) e il suo valore approssimativo è 1,6180. La sua prima definizione si rintraccia nel libro VI degli Elementi del matematico alessandrino Euclide, fondatore della geometria, vissuto tra il IV e il II secolo a.C., che lo descrive come una relazione fra lunghezze, il che suggerisce un’associazione con l’idea di proporzione. La figura geometrica più semplice che si possa costruire mantenendo questa proporzione è un rettangolo il cui lato minore misuri 1 e il maggiore 1,6180.

Questa semplice figura è un rettangolo “aureo”, aggettivo introdotto intorno al 1830 dal matematico tedesco Martin Ohm. Che cosa ha di speciale? Che è ovunque. Nei canoni estetici dell’antica Grecia rappresentava le proporzioni perfette e si usava nella maggior parte delle costruzioni architettoniche: fu modello di bellezza per gli artisti del Rinascimento, s'individua nella maggior parte delle cattedrali gotiche e nell’edificio dell’ONU a New York. Sulle sue proporzioni sono determinate le dimensioni di dispositivi elettronici come tablet o telefoni cellulari. Wolfgang Amadeus Mozart lo tenne in considerazione nella composizione delle sue sonate. La proporzione aurea è presente nella struttura del DNA, nello schema di crescita di moltissimi organismi e nella distribuzione dei pianeti del sistema solare.

La successione di Fibonacci nasce come soluzione a un problema sulla riproduzione dei conigli. L’approccio è il seguente: una coppia di conigli raggiunge la maturità sessuale in un mese. Nell’età fertile si riproduce, creando una nuova coppia (un maschio e una femmina) che, seguendo lo stesso modello riproduttivo, impiegherà un mese per essere pronta a procreare. Così, con il passare dei mesi, aumenterà il numero di coppie di conigli. Il totale di esemplari derivato da ogni generazione corrisponde alla seguente serie di numeri: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987... la cui caratteristica è che ogni numero è la somma dei precedenti. La possibilità di continuare ad aggiungere elementi attraverso una somma, ma senza alterare la forma, dà luogo a uno schema di crescita che si può osservare in strutture naturali diverse, come la spirale di una galassia, le impronte digitali o la distribuzione dei petali di un fiore.

Il celebre disegno dell’uomo vitruviano di Leonardo illustra il libro del matematico italiano Luca Pacioli sulla divina proporzione

Il celebre disegno dell’uomo vitruviano di Leonardo illustra il libro del matematico italiano Luca Pacioli sulla divina proporzione

Foto: Corbis / Cordon Press

La divina proporzione

Nell’Italia rinascimentale, le ricerche sul numero aureo furono riprese da Luca Pacioli, che ne portò a termine uno studio esaustivo nel trattato De Divina Proportione. Artisti come Piero della Francesca, Leonardo da Vinci e Leon Battista Alberti consideravano quindi il numero aureo come l’unità di misura della bellezza perfetta, e lo usarono nella maggior parte delle loro opere. Ma fu l’astronomo tedesco Johannes von Kepler (Keplero), scopritore delle tre leggi fondamentali sul moto dei pianeti, a chiarire, nel XVII secolo, la relazione esistente fra il numero aureo e la successione di Fibonacci: il rapporto fra due numeri consecutivi della successione di Fibonacci approssima via via, sempre più precisamente, il numero aureo.

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La spirale meravigliosa

La spirale ha affascinato sin dall’antichità artisti e scienziati; è un simbolo ornamentale e religioso presente in molte culture, e una delle forme più diffuse nel mondo naturale. Fra le grandi personalità che riunirono le qualità di artista e conoscitore delle leggi della geometria si distingue il pittore e incisore tedesco Albrecht Dürer, che in uno dei suoi trattati teorici di matematica applicata all’arte spiega come disegnare un tipo particolare di spirale a partire da un rettangolo aureo.

Se costruiamo un quadrato nella parte sinistra di questo rettangolo, a destra risulterà un altro rettangolo più piccolo. Questo rettangolo rispetta a sua volta le proporzioni auree.Questo processo si può ripetere all’infinito, e si otterrà una successione di rettangoli aurei e di quadrati sempre più piccoli. Se si punta un compasso su un angolo di ogni quadrato disegnando al suo interno un quarto di circonferenza, si otterrà la cosiddetta “spirale di Dürer”. In termini matematici non si tratta di un’autentica spirale, ma di una buona approssimazione della spirale logaritmica che il matematico svizzero Jacob Bernoulli chiamò Spira mirabilis, “spirale meravigliosa”.

La spirale è presente nelle opere d’arte di tutti i tempi. Scala elicoidale dei Musei Vaticani, opera di Giuseppe Momo. 1932

La spirale è presente nelle opere d’arte di tutti i tempi. Scala elicoidale dei Musei Vaticani, opera di Giuseppe Momo. 1932

Foto: Supersock / Age Fotostock

Il numero aureo è una parte intrinseca sia della serie di Fibonacci, sia della spirale logaritmica, due concetti matematici che si sommano nella formazione di elementi naturali molto diversi, come vegetali, uragani o galassie: il numero aureo non è servito solo da modello di bellezza per le creazioni dell’essere umano, ma anche per lo sviluppo di numerosi esseri viventi. La distribuzione delle lamelle di un ananas, lo sviluppo della conchiglia delle lumache o la forma in cui si raggruppano i semi delle piante sono alcuni esempi della manifestazione del numero aureo in natura, e questo porta a pensare che esso sia legato a qualche funzione che ancora non conosciamo.

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